La Paradoja de la Edad Menguante

Lo reconozco… ¡me gustan las matemáticas! Siempre tengo algún número rondando por mi cabeza y las cosas más cotidianas las tiendo a simplificar y numerar. También, siempre me han apasionado las paradojas… esas aserciones inverosímiles que se presentan con apariencia de verdaderas.

Y de tanto jugar con números, es normal que mi cerebro tropiece, de vez en cuando, con algún absurdo. A modo de ejemplo, hace ya algún tiempo, publiqué en este blog La Paradoja del Reloj, que reza la siguiente contradicción: “Cuando mayor sea la precisión de un reloj, con menor precisión nos dará la hora”.

Tiempo y precisión se contradicen en la Paradoja del Reloj. Fuente

Pues bien, el otro día, celebrando un aniversario en casa de unos amigos, uno de los invitados dijo: “Martín cumple 35 años y su padre hizo 70 hace un mes… Que curioso… el padre, tiene el doble de la edad del hijo”. Después de una pausa, respondí: “Bueno… de hecho, esto no tiene nada “curioso”… esta coincidencia es de lo más normal: nuestro padre (o cualquier persona) tendrá el doble de nuestra edad, cuando nosotros cumplamos la edad que él tenía cuando nacimos”. Es decir, si nuestro padre nos tuvo con 20 años, cuando nosotros cumplamos 20, el autor de nuestros días tendrá 20+20=40 años (el doble).

Esta perogrullada hizo activar mi mente y calcular diferentes posibilidades y… con la ayuda del pacharán y las risas de los comensales, concluí con un absurdo que titulé: La Paradoja de la Edad Menguante, que afirma lo siguiente:

Al momento de nacer, la edad de nuestro padre es infinitamente mayor que la nuestra. Pero, con el tiempo, acabaremos teniendo, exactamente, la misma edad.

Padre e hijo sostienen un reloj de arena. Fuente

Esta aseveración parece del todo descabellada... ya que, nuestro padre, debería tener siempre la misma diferencia de edad respecto a nosotros. Por ejemplo: si nos tuvo con 30 años, por mucho que pase el tiempo, siempre va ha tener 3 décadas más de diferencia, ¿no? Entonces: ¿pueden explicarme donde está el “truco”?

Resolución matemática de La Paradoja de la Edad Menguante

Para entender esta paradoja, deduje una fórmula matemática que nos ayudará a razonarla adecuadamente. Esta ecuación no sólo sirve para comparar cual es la proporción entre las edades de padre e hijo, sino que podrá aplicarse a dos personas cualquiera.

Para conocer cual es la proporción entre las edades de dos personas, lo que llamaremos el factor de proporcionalidad (F), dividiremos la edad actual de la persona más mayor (E_a) por la edad actual de la más joven (T):

Por ejemplo, si un padre tiene actualmente 40 años (E_a=40) y el hijo 10 años (T=10), el padre tendrá una proporción cuatro veces mayor que la edad del hijo: F=40/10= 4.

Por otra parte, podemos considerar que la edad actual de la persona más mayor (la E_a) es igual a la edad que tenía esta persona cuando nació la más joven (la que denominaremos E) más la edad actual de la persona más joven (la T):

Para nuestro ejemplo anterior: cuando nació el hijo el padre tenía 30 años (E=30) y, actualmente, el hijo (como sabemos) tiene 10 años (T=10). Por tanto, la edad actual del padre es: E_a=30+10=40.

Si substituimos estas dos igualdades, tenemos la fórmula que necesitamos:

Siendo:

T   Años transcurridos desde el nacimiento de la persona más joven (es decir: su edad actual)

E   Edad que tenía la persona más mayor en el momento que nació la más joven

F   Factor de proporcionalidad entre la edades de la persona más mayor respecto la más joven

Jugando con los diferentes parámetros de la fórmula y aplicando diferentes valores, podremos llegar a entender el enunciado de la paradoja.

Miremos algunos ejemplos: 

1.- Las dos personas tienen la misma edad

En el caso de que las dos personas sean coetáneas, al tener la misma edad: la edad de la “mayor” será de 0 años en el momento de nacer la “menor”, por tanto: E = 0. Si lo aplicamos a la fórmula:

T dividido por T es igual a 1. Así pues, 2 personas nacidas el mismo año siempre tendrán un factor de proporcionalidad de sus edades unitario… ¡lógico!, porqué siempre van a tener las dos la misma edad.

Los hermanos gemelos son el caso más claro de coetaniedad (E=0). Fuente

2.- Una persona tiene el doble de edad que otra

Este es el caso que surgió durante la cena de cumpleaños. Para que una persona tenga el doble de edad que otra, el factor de proporcionalidad entre ambas debe ser: F = 2. Si lo trasladamos a nuestra fórmula: 

Aislamos la T:

Es decir, para que una persona tenga el doble de la edad de otra: la edad de la más joven (que no es más que el tiempo transcurrido T), tiene que ser igual a la edad que tenía la persona con más años, cuando nació la más joven: E.

Y esto no es más que la comprobación matemática de lo que se dijo durante la cena: Martín cumplía 35 años (T=35) y esta era la edad que tenía su padre cuando su hijo nació (E=35); por tanto, ahora su padre tiene el doble de su edad: E+T=70 años.

3.- Una persona tiene el triple de edad que otra 

Si nos interesa saber cuando una persona tendrá el triple de edad que otra, el factor de proporcionalidad, en este caso, será: F = 3. Si lo aplicamos a nuestra fórmula: 

Si aislamos la T:

En este caso, la edad de la persona más joven (T) tiene que ser igual a la mitad de la edad que tenía la mayor cuando la joven nació: E/2.

Por ejemplo: si nuestro padre nos tuvo con 26 años (E=26), cuando nosotros tengamos 13 años (T=26/2), nuestro padre tendrá 39 años (26+13), es decir: 3 veces más que nosotros (39/3= 13).

4.- Una persona tiene diez veces la edad de otra

Si queremos conocer cuando una persona tendrá diez veces la edad de otra, el factor de proporcionalidad deberá ser: F = 10. Si lo trasladamos a nuestra fórmula: 

Si aislamos la T:

Por tanto, en este caso, la persona joven (T) tiene que ser igual a un noveno de la edad de la mayor cuando la joven nació: E/9.

Por ejemplo: si nuestro padre nos tuvo con 45 años (E=45), cuando nosotros tengamos 5 años (T=45/9), nuestro padre tendrá 50 años (45+5), es decir: 10 veces más que nosotros (50/10=5).

Envejecer. Fuente

5.- Una persona tiene infinitas veces la edad de otra

Siguiendo esta progresión… llevada al límite, puede interesarnos cuando una persona tendrá infinitas veces la edad de otra. En este caso, el factor de proporcionalidad tenderá a infinito (F = ∞). Si lo aplicamos a nuestra fórmula: 

Para que se cumpla esta igualdad, T tiene que ser igual a 0, ya que cualquier número (en este caso E), dividido por cero, es infinito:

Que el tiempo transcurrido (T) sea igual a cero, significa que estamos en el momento exacto del nacimiento de la persona más joven. Y esto no es más que la demostración de la primera parte del enunciado de la paradoja: “Al momento de nacer, la edad de nuestro padre es infinitamente mayor que la nuestra”.

6.- Proporción de las edades de dos personas al cabo del tiempo

Por último, si queremos conocer como serán las edades de dos personas después que suceda el tiempo… es decir: cuando T tienda a infinito, y lo trasladamos a nuestra fórmula: 

Considerando que el valor de E es despreciable sumado a infinito, nos queda que el factor de proporcionalidad es igual a un infinito dividido por el "mismo" infinito… es decir: F tenderá a valer 1.

Un factor de proporcionalidad unitario, significa que padre e hijo son coetáneos. Y este ejemplo nos demuestra la segunda parte de la paradoja: “Pero, con el tiempo, acabaremos teniendo, exactamente, la misma edad”.

Hombre que observa el tiempo pasar... Fuente

Conclusiones

1. El parámetro E es un valor constante: una vez conocida la edad que tenía la persona mayor cuando nació la más joven, este número no variará por más que aumentemos el tiempo transcurrido (T) o el factor de proporcionalidad (F). 
2. El parámetro E ha de ser mayor que cero (como hemos visto en el primer ejemplo expuesto), esto significa que: para que haya una variación en el factor de proporcionalidad de las edades de dos personas, estas han de haber nacido en diferentes años. 
3. Los ejemplos del 2 al 5, nos han servido para comprobar que cuanto menor sea el tiempo transcurrido (T), mayor será la proporción de edades entre dos personas (F). En el límite, en el instante del nacimiento de la persona más joven (T=0), la proporción de edades entre las dos será infinita (F=∞). 
4. El último ejemplo, por su parte, nos ha servido para demostrar lo contrario: cuando mayor sea el tiempo transcurrido (T), menor será el factor de proporcionalidad (F). En el límite, cuando el tiempo transcurrido sea infinito (T=∞), la proporción de edades entre ambas personas será (F=1), es decir, tenderán a tener la misma edad. 

Para visualizar todos los casos expuestos, podemos trazar la gráfica Factor de proporcionalidad respecto el Tiempo transcurrido (F/T) a partir de nuestra fórmula matemática (considerando E un valor constante mayor que cero). La curva resultante tendrá la siguiente forma:

Como podemos observar, la curva traza una asíntota vertical para T=0 y una horizontal para F=1.

Y estas dos asíntotas no son más que la explicación gráfica de las dos partes de la Paradoja de la Edad Menguante, veamos:

• Asíntota vertical: "Al momento de nacer (para T=0), la edad de nuestro padre es infinitamente mayor que la nuestra (F=∞)".
• Asíntota horizontal: "Pero, con el tiempo (para T=∞), acabaremos teniendo, exactamente, la misma edad (F=1)".

c.q.d.

Que esta paradoja no nos haga menguar la importancia del tiempo… ¡que importa la edad! Como un día leyó el autor: “Vivamos siempre como si fuera el último día, aprendamos como si hubiéramos de vivir eternamente”.

Junto a mi padre, disfrutando de "nuestro" tiempo. Con una proporción actual de edades de 1,67 (¡y bajando!)

Espero que os haya gustado el escrito ¡Gracias por vuestra atención!